Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real,
vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su
módulo cambia, no varía de cualquier manera, sino que depende de una tercer
variable, la aceleración.
Aceleración:
El movimiento anterior es un movimiento poco frecuente en la vida real. Cuando caminamos,
corremos o saltamos la velocidad no permanece constante, sino cambia. Pero para
no complicarnos demasiado, así que imaginemos que la velocidad cambia de manera
uniforme, dos unidades a la vez, a medida que el cronómetro imaginario en
nuestras manos va marcando el tiempo.
Nuevamente
hagamos un cuadro para poner nuestros valores:
Instante (t)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
Velocidad (v)
|
0 |
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
La relación
(directamente proporcional, matemáticamente hablando) se mantiene al dividir la
velocidad por el tiempo, en cada caso nos da 2.
Pero hay un
problema en el primer casillero. No podemos hacer la operación ya que
matemáticamente es imposible dividir entre sí a cero.
Nos encontramos frente a un problema, este casillero nos indica que la relación que buscamos no puede
estar entre la velocidad que nos marca el velocímetro del auto, por ejemplo, y el instante en que nos marca el reloj o el cronómetro. (Con que una cuenta no se pueda realizar basta para que la relación no se pueda dar).
Pero notamos que la velocidad y el tiempo están evidentemente relacionados... debemos hacerlo de
otra manera. Veamos que sucede si tomamos dos intervalos distintos y vemos la variación de cada uno de ellos ¿se mantendrá esa relación?
Tomemos el instante 2, ti = 2, la velocidad correspondiente es 4, v = 4
Tomemos el
instante 7, t = 7, la velocidad correspondiente es 14, v = 14
Calculemos la
variación de Δv = 14 – 4 = 10
Δt = 7 – 2 = 5
Al dividir la
variación de velocidad Δv por la variación del tiempo Δt el
resultado, la razón nos da 2. Ahora toma
diferentes intervalos y vuelve a repetir la operación pare verificar que siempre
te da dos.
Justamente la relación directamente proporcional que hay entre la variación de
la velocidad y el tiempo es algo físico, y la denominamos aceleración.
Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una
magnitud escalar, cualquier operación matemática entre ellos dará como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleración también es un vector
Unidades de la aceleración:
Aplicando la definición de aceleración, variación de la velocidad en función del tiempo, analizaremos sus unidades.
Podemos medir a la velocidad en m/seg, así que tomaremos la
unidad de tiempo en segundos para poder operar matemáticamente sin problemas.
Obtención de la función Primitiva:
Para hallar las ecuaciones de movimiento (función primitiva, matemáticamente
hablando) puede procederse mediante integrales
u obtención del área bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos
mecanismos del análisis matemático, utilizaremos la segunda opción.
En
el M.R.U.V. la velocidad varía pero no de cualquier manera, depende de la
aceleración y esta es constante. Si miramos detenidamente la gráfica de la
aceleración en función del tiempo (gráfico de la aceleración) podremos darnos
cuenta que, no importa el instante elegido, "a" tendrá siempre el mismo
valor.
Supongamos que la aceleración es de 2 m/s2 cuando partimos de la
posición 1 m. con una velocidad de 1 m/s.
Recordemos: xo = 1 m y vo = 1 m/s.
Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la gráfica de aceleración y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (líneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectángulos.
En un rectángulo, cualquier lado puede ser base o altura.
Para facilitar cálculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como
altura Þ base = a ; altura =
Dt
Área = a. Δt
La aceleración determina como varía la velocidad y el área
debajo de su gráfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo:
Área = v; de esta manera tenemos: v = a .
Δt
No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad
no era nula
Þ v = vo + a.
Δt (Ecuación 1)
(Esta ecuación nos permites calcular
la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantánea.)
Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo
la ecuación 1.
a
|
Δt
|
a
Δt
|
a
Δt
+ vo
|
v
|
2
|
0
|
2 . 0 = 0
|
2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1
|
1
|
2
|
1
|
2 . 1 = 2
|
2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3
|
3
|
2
|
2
|
2 . 2 = 4
|
2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5
|
5
|
2
|
3
|
2 . 3 = 6
|
2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7
|
7
|
Tomemos los puntos cuyas coordenadas estén determinados por
(t; vt) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la
gráfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al
variar en función del tiempo nos da una recta.
Siempre que una variable dependa de una constante dará una
recta en su gráfica.
Una vez más tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y
[0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.
Nuevamente Δt será la altura, las
bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La vo
(velocidad inicial) será la base menor mientras que vt
(velocidad instantánea) será la base mayor.
Ya habíamos visto que la velocidad señala cuanto espacio se
recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la
cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duración.
así el área debajo de la gráfica de vt indica la posición del
cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la
posición 1 m. (xo = 1 m.) tenemos que:
v
|
vo
|
v + vo
|
(v + vo):2
|
Δt
|
[(v + vo)
: 2] . Δt
|
[(v + vo)
: 2] . Δt + xo
|
xt
|
1
|
1
|
1 + 1 = 2
|
2 : 2 = 1
|
0
|
1 . 0 = 0
|
0 + 1 =
|
1
|
3
|
1
|
1 + 3 = 4
|
4 : 2 = 2
|
1
|
2 . 1 = 2
|
2 + 1 =
|
3
|
5
|
1
|
1 + 5 = 6
|
6 : 2 = 3
|
2
|
3 . 2 = 6
|
6 + 1 =
|
7
|
7
|
1
|
1 + 7 = 8
|
8 : 2 = 4
|
3
|
4 . 3 = 12
|
12 + 1 =
|
13
|
Tomemos los puntos (Δt, x)
(columnas en color). Llevándolas a la gráfica del espacio
en función del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parábola.
Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos
una curva como gráfica.
El problema que seguramente verás es que la ecuación utilizada no es la fórmula que comúnmente se usa para hallar xt. Ahora necesitaras concentrarte por que desarrollaremos el proceso matemático que va de esta ecuación a la que tú conoces.
Comencemos con la ecuación que hemos utilizado:
Ahora reemplacemos v por la ecuación 1 (la de velocidad en función de tiempo) y así tendremos:
(operando matemáticamente tenemos que...)
Esta ecuación, llamada ecuación horaria, es la más
frecuentemente utilizada para hallar xt. De la ecuación 1 y de la ecuación 2, por operaciones matemáticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuación que facilitará bastante la resolución de problemas:
2.
Δx. a = v 2 – vo
2 (Ecuación 3)
Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V.
Caída libre y tiro vertical
Caída libre y tiro vertical
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