MRUV

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su módulo cambia, no varía de cualquier manera, sino que depende de una tercer variable, la aceleración.

Aceleración:

El movimiento anterior es un movimiento poco frecuente en la vida real. Cuando caminamos, corremos o saltamos la velocidad no permanece constante, sino cambia. Pero para no complicarnos demasiado, así que imaginemos que la velocidad cambia de manera uniforme, dos unidades a la vez, a medida que el cronómetro imaginario en nuestras manos va marcando el tiempo.

Nuevamente hagamos un cuadro para poner nuestros valores:

Instante (t)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Velocidad (v)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20

La relación (directamente proporcional, matemáticamente hablando) se mantiene al dividir la velocidad por el tiempo, en cada caso nos da 2.

Pero hay un problema en el primer casillero. No podemos hacer la operación ya que matemáticamente es imposible dividir entre sí a cero. 

Nos encontramos frente a un problema, este casillero nos indica que la relación que buscamos no puede estar entre la velocidad que nos marca el velocímetro del auto, por ejemplo, y el instante en que nos marca el reloj o el cronómetro. (Con que una cuenta no se pueda realizar basta para que la relación no se pueda dar).

Pero notamos que la velocidad y el tiempo están evidentemente relacionados... debemos hacerlo de otra manera. Veamos que sucede si  tomamos dos intervalos distintos y vemos la variación de cada uno de ellos ¿se mantendrá esa relación?

Tomemos el instante 2, t_i = 2, la velocidad correspondiente es 4, v = 4

Tomemos el instante 7, t = 7, la velocidad correspondiente es 14, v = 14

Calculemos la variación de Δv = 14 – 4 = 10

                                         Δt = 7 – 2 = 5

Al dividir la variación de velocidad Δv por la variación del tiempo Δt el resultado, la razón nos da 2. Ahora toma diferentes intervalos y vuelve a repetir la operación pare verificar que siempre te da dos.

Justamente la relación directamente proporcional que hay entre la variación de la velocidad y el tiempo es algo físico, y la denominamos aceleración.

Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una magnitud escalar, cualquier operación matemática entre ellos dará como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleración también es un vector

Unidades de la aceleración: Aplicando la definición de aceleración, variación de la velocidad en función del tiempo, analizaremos sus unidades.

Podemos medir a la velocidad en m/seg, así que tomaremos la unidad de tiempo en segundos para poder operar matemáticamente sin problemas.

Obtención de la función Primitiva: Para hallar las ecuaciones de movimiento (función primitiva, matemáticamente hablando) puede procederse mediante integrales u obtención del área bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del análisis matemático, utilizaremos la segunda opción.

En el M.R.U.V. la velocidad varía pero no de cualquier manera, depende de la aceleración y esta es constante. Si miramos detenidamente la gráfica de la aceleración en función del tiempo (gráfico de la aceleración) podremos darnos cuenta que, no importa el instante elegido, "a" tendrá siempre el mismo valor.

Supongamos que la aceleración es de 2 m/s² cuando partimos de la posición 1 m. con una velocidad de 1 m/s. 

Recordemos: x_o = 1 m y v_o = 1 m/s.

Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la gráfica de aceleración y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (líneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectángulos.

En un rectángulo, cualquier lado puede ser base o altura. 

Para facilitar cálculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como altura Þ base = a ; altura = Dt 

Área _ = a. Δt

La aceleración determina como varía la velocidad y el área debajo de su gráfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo:

Área = v; de esta manera tenemos: v = a . Δt

No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no era nula

Þ v = v_o + a. Δt (Ecuación 1)

(Esta ecuación nos permites calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantánea.)

Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la ecuación 1.

a	Δt	a Δt	a Δt + vo	v
2	0	2 . 0 = 0	2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1	1
2	1	2 . 1 = 2	2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3	3
2	2	2 . 2 = 4	2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5	5
2	3	2 . 3 = 6	2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7	7

Tomemos los puntos cuyas coordenadas estén determinados por (t; v_t) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la gráfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al variar en función del tiempo nos da una recta.

Siempre que una variable dependa de una constante dará una recta en su gráfica.

Una vez más tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y [0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.

Nuevamente Δt será la altura, las bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La v_o (velocidad inicial) será la base menor mientras que v_t (velocidad instantánea) será la base mayor.

Ya habíamos visto que la velocidad señala cuanto espacio se recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duración. así el área debajo de la gráfica de v_t indica la posición del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la posición 1 m. (x_o = 1 m.) tenemos que:

v	vo	v + vo	(v + vo):2	Δt	[(v + vo) : 2] . Δt	[(v + vo) : 2] . Δt + xo	xt
1	1	1 + 1 = 2	2 : 2 = 1	0	1 . 0 = 0	0 + 1 =	1
3	1	1 + 3 = 4	4 : 2 = 2	1	2 . 1 = 2	2 + 1 =	3
5	1	1 + 5 = 6	6 : 2 = 3	2	3 . 2 = 6	6 + 1 =	7
7	1	1 + 7 = 8	8 : 2 = 4	3	4 . 3 = 12	12 + 1 =	13

Tomemos los puntos (Δt, x) (columnas en color). Llevándolas a la gráfica del espacio en función del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parábola.

Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos una curva como gráfica.

El problema que seguramente verás es que la ecuación utilizada no es la fórmula que comúnmente se usa para hallar x_t. Ahora necesitaras concentrarte por que desarrollaremos el proceso matemático que va de  esta ecuación a la que tú conoces. 

Comencemos con la ecuación que hemos utilizado:

Ahora reemplacemos v por la ecuación 1 (la de velocidad en función de tiempo) y así  tendremos:

(operando matemáticamente tenemos que...)

Esta ecuación, llamada ecuación horaria, es la más frecuentemente utilizada para hallar x_t. De la ecuación 1 y de la ecuación 2, por operaciones matemáticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuación que facilitará bastante la resolución de problemas:

2. Δx. a = v ² – v_o ² (Ecuación 3)

Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V.

Caída libre y tiro vertical