Movimiento en dos dimensiones

Aproximándonos un poco más a los movimientos reales que ocurren cotidianamente, o sea, todos los días, comenzaremos a estudiar los movimientos que no son rectilíneos. En este caso no sólo se debe tener en cuenta el desplazamiento horizontal (eje x) ó el vertical (eje y) sino que debemos observar ambos a la vez.

Como ya se había dicho, la velocidad es la mejor representante del movimiento, por eso analizaremos que le sucede en este caso. Toda velocidad que se mueva horizontalmente recibirá el nombre de v_x, mientras aquella que se mueva verticalmente será llamada v_y.

Recordando lo que aprendiste en la escuela, si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero llamado resultante. Para ello utilizaremos el método del paralelogramo, en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos un vector velocidad (resultante) que indica la dirección y sentido del desplazamiento del objeto en dicho punto y en ese preciso instante.

Por supuesto que si cambia v_x ó v_y, la dirección, sentido y módulo de V resultante no será el mismo. Por lo tanto, todo movimiento en dos dimensiones donde una de las velocidades varíe no podrá ser rectilíneo.

Tiro Oblicuo:

Todo cuerpo que se halle suspendido en el aire, al soltarlo, caerá libremente en línea recta al suelo, pues sobre él actúa la fuerza de gravedad

acelerándolo. Si en ese preciso momento le pegamos con dirección horizontal (figura) este cuerpo no se moverá horizontal ni verticalmente, sino que tomará una dirección intermedia que podemos hallar aplicando el método del paralelogramo por que los dos desplazamientos (horizontal y vertical) son vectores.

El cuerpo que se encuentra sometido a la acción de dos vectores cae al mismo tiempo que se desplaza horizontalmente. El problema es que a medida que cae su velocidad vertical aumenta a cada instante (M.R.U.V.) pero su velocidad horizontal, al no verse afectada por ningún rozamiento, resistencia del aire, ni siquiera por la gravedad, no varía en magnitud (M.R.U.)

Si tomamos dos posiciones cualesquiera durante una caída (no vertical) podemos observar que la velocidad resultante en ambos casos presenta distinta magnitud y dirección. Deja caer el capuchón de tu birome o una goma y pégale horizontalmente para ver que la trayectoria no es recta, siempre describirá la misma trayectoria curva, desacelerando cuando sube y acelerando al bajar.

Este tipo de tiro, llamado tiro oblicuo, es mucho más complicado que los movimientos que vimos anteriormente, pero puede ser descompuesto en un movimiento vertical (acelerado o desacelerado) y un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (M.R.U.), lo que puede facilitarnos su estudio.

Velocidad Tangencial:

En todo movimiento no rectilíneo, la v_m (velocidad media) puede interpretarse geométricamente como la medida de inclinación de la recta determinada por dos puntos cualesquiera de la trayectoria. Su valor

depende del intervalo de tiempo (t) escogido, de manera que cuanto mayor sea la inclinación menor será t. Observando la figura vemos dos intervalos de tiempo, uno menor que el otro. La velocidad media del más chico está más inclinada, su ángulo es mayor, por lo tanto su módulo también es mayor.

La velocidad aumenta su inclinación cuando t se hace cada vez más chico (tiende a cero) pero la velocidad no puede dejar de tocar la curva, entonces, cuando t sea tan pequeño como para suponer que nos encontramos en un instante la velocidad será tangente a la curva. Una recta tangente es aquella que corta en un solo punto a una curva. Esta velocidad, que no es otra que la velocidad instantánea, siempre será tangente en un punto a la trayectoria, por eso suele llamársela velocidad tangencial.

En el caso del movimiento rectilíneo, la recta tangente a una recta posee su misma dirección; por eso las velocidades son colineales (única dirección).

Vector Posición:

Cualquier objeto cuya posición pueda describirse localizando un solo punto puede denominarse partícula; no interesa su tamaño ni estructura

interna. Esta partícula puede moverse dentro de nuestro universo físico en una, dos o tres dimensiones si se desplaza sobre una recta, un plano o en el espacio. Podemos describir la posición de una partícula confinada a un plano mediante sus coordenadas cartesianas (r_x ; r_y), o mediante un vector "r" cuyo origen está en el centro de coordenadas. Pero puede descomponerse (desdoblarse) en dos componentes, cada una sobre un eje.

Llamaremos r_x a la componente sobre las abscisas y r_y a la componente sobre las ordenadas. El vector posición se relaciona con sus componentes a través de las funciones trigonométricas del ángulo.

De esa manera tenemos:

• r_x = r . cos α
• _ry  = r . sen α

Si operamos matemáticamente resolviendo estas cuentas veremos que el módulo de cada componente es igual al valor de la coordenada correspondiente al eje donde se encuentra:

Un vector puede nombrarse indicando el módulo de sus componentes señalando sobre que eje estas se hallan. Para eso se utiliza a los versores. El versor o vector unitario, es un vector cuyo módulo siempre es uno. Sobre el eje x encontramos al versor "i" y sobre el eje y hallaremos al versor "j". Podemos describir al vector posición así:

En la figura a se hallan marcadas dos posiciones (P₁ y P₂) de un objeto que cae en tiro oblicuo ademas de los vectores posición de cada punto, r

₁ y r₂, que tienen sus respectivas coordenadas cartesianas:

D

r es el desplazamiento desde P₁ hasta P₂. Hallamos su módulo simplemente restando los dos vectores:

Como ya determinamos el desplazamiento, calculemos la velocidad media:

Ecuación de la Trayectoria : La trayectoria en este movimiento depende tanto del desplazamiento vertical como del horizontal. En un momento dado podemos encontrar un punto en el cual hayamos recorrido distancia x y hayamos alcanzado cierta altura y empleando, por supuesto, el mismo intervalo de tiempo t.

Así que utilizamos la ecuación " Dx = v_x . Dt " despejamos Dt tendremos

Dt = Dx / v_x 

Si reemplazamos en la ecuación horaria:

operando matemáticamente llegamos a: 

Elementos para toma en cuenta al resolver un ejercicio:

Ya habíamos aclarado que un cuerpo arrojado en tiro oblicuo presenta una trayectoria parabólica. La parábola presenta un eje que divide a la gráfica en dos partes iguales (figura). Físicamente, esto implica que el tiempo empleado en el primer tramo (antes del eje) será igual al segundo. Además, dos posiciones distintas x₁ y x₂ pueden tener la misma altura.

Un cuerpo desplazándose en tiro oblicuo se mueve en dos dimensiones, una horizontal y otra vertical. Sobre el desplazamiento horizontal no actúa ninguna fuerza por cuanto este movimiento es uniforme.

Así que Dx = v_x . t

La cosa cambia cuando consideramos el desplazamiento vertical, aquí actúa la fuerza de gravedad produciendo aceleración (g), vector cuya dirección perpendicular al suelo siempre apunta hacia abajo. Si comparamos vemos que son colineales pero de sentidos opuestos. El destino de este cuerpo es detenerse, pero está en el aire, entonces cuando v_y sea cero, él empezará a caer.

"En la altura máxima que un cuerpo puede alcanzar, en estas condiciones, la componente vertical de la velocidad, es nula".

Ejercicios Explicados:

F Un cañón dispara una bala con una velocidad de 500 m/s con un ángulo respecto al suelo de 30º. Indica a que distancia puede hallarse el blanco si la bala impacta a una altura de 5 m.

Solución: " Un cañón dispara ... ", la velocidad de 500 m/seg. corresponde a la velocidad inicial. Como el ángulo de disparo es de 30º, suponemos (y con razón) que v_o se halla inclinada 30º. El disparo se realiza desde el suelo, por lo tanto la posición inicial en ambos desplazamientos (horizontal y vertical) será cero. La componente vertical de la velocidad tiene sentido opuesto al de la gravedad, entonces será negativa.

Datos: v_o = 500 m/s, a = 30°, Dy = 5 m, g

Incógnita: Dx = ?

En un tiro oblicuo puede hallarse al objeto ubicado a la misma altura en dos instantes diferentes, uno cuando sube otro cuando baja. Es lícito imaginar que las distancias recorridas en ambos intervalos no serán las mismas. Encontramos que a una misma altura el cuerpo se halla en dos posiciones horizontales diferentes Dx₁ cuando sube y Dx₂ cuando baja.

Nos conviene utilizar por lo tanto la ecuación de la trayectoria:

Suplantamos los datos correspondientes y despejamos Dx (distancia, o sea el alcance).

Resolvemos e igualamos a cero: - 2,7.10 ^{– 5} Dx ² + tg 30º Dx – 5 = 0

Aplicando  la ecuación cuadrática tenemos:

Þ

  Dx₁ = 8,66 m. y  Dx₂ = 21374,7 m = 21,64 Km.

F Jaimito dispara una piedra desde el nivel del piso, con su super – honda, logrando que salga despedida con una velocidad 15 m/s i + 20 m/s j, de manera que hace impacto sobre un loro malhablado posado en la rama de un árbol que está a 45 m de distancia del punto de lanzamiento a) Calcular a que altura estaba posado el loro b) Determinar el vector velocidad de la piedra en el instante de pegarle al loro, y, sobre un esquema de la trayectoria, representar los vectores velocidad y aceleración de la piedra en dicho instante.

Solución: Como la velocidad inicial está expresada vectorialmente = 15 m/s i + 20 m/s j. podemos afirmar que: v_x = 15 m/s y v_y = 20 m/s. Hay que tener en cuenta que a v_y tiene signo positivo, opuesto al de la gravedad.

a) Calculemos la altura en que se encuentra el loro. Para ello indiquemos los datos que nos da el problema: 

Datos: Dx = 45 m ; vx = 15 m/s ; v_y = 20 m/s ; g = - 10 m/s

²

En el problema Dx se relaciona con Dy , por lo tanto vamos a utilizar la ecuación de la trayectoria.

Como no tenemos al ángulo a, busquémoslo. 

b) Para poder determinar el vector velocidad de la piedra en el momento del impacto necesitamos hallar v_x y v_y en ese preciso instante.

La velocidad horizontal no cambia de valor ya que se trata de un MRU por no afectarla la gravedad, su valor seguirá siendo de 15 m/s durante todo el problema. No pasa lo mismo con la componente vertical

v_y  que está sometida a la acción de la gravedad. Así que tenemos que calcular su módulo: 

Según la piedra suba o baje tendremos un signo "+" o "-" para. Como no sabemos si la piedra está subiendo o bajando hallemos las dos posiciones horizontales (Dx) para la altura que está el loro (15 m)

Como se encontraba a los 45 m, estaba bajando,