Movimiento en dos dimensiones

Aproximándonos un poco más a los movimientos reales que ocurren cotidianamente, o sea, todos los días, comenzaremos a estudiar los movimientos que no son rectilíneos. En este caso no sólo se debe tener en cuenta el desplazamiento horizontal (eje x) ó el vertical (eje y) sino que debemos observar ambos a la vez.

Como ya se había dicho, la velocidad es la mejor representante del movimiento, por eso analizaremos que le sucede en este caso. Toda velocidad que se mueva horizontalmente recibirá el nombre de v_x, mientras aquella que se mueva verticalmente será llamada v_y.

Recordando lo que aprendiste en la escuela, si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero llamado resultante. Para ello utilizaremos el método del paralelogramo, en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos un vector velocidad (resultante) que indica la dirección y sentido del desplazamiento del objeto en dicho punto y en ese preciso instante.

Por supuesto que si cambia v_x ó v_y, la dirección, sentido y módulo de V resultante no será el mismo. Por lo tanto, todo movimiento en dos dimensiones donde una de las velocidades varíe no podrá ser rectilíneo.

Tiro Oblicuo:

Todo cuerpo que se halle suspendido en el aire, al soltarlo, caerá libremente en línea recta al suelo, pues sobre él actúa la fuerza de gravedad

acelerándolo. Si en ese preciso momento le pegamos con dirección horizontal (figura) este cuerpo no se moverá horizontal ni verticalmente, sino que tomará una dirección intermedia que podemos hallar aplicando el método del paralelogramo por que los dos desplazamientos (horizontal y vertical) son vectores.

El cuerpo que se encuentra sometido a la acción de dos vectores cae al mismo tiempo que se desplaza horizontalmente. El problema es que a medida que cae su velocidad vertical aumenta a cada instante (M.R.U.V.) pero su velocidad horizontal, al no verse afectada por ningún rozamiento, resistencia del aire, ni siquiera por la gravedad, no varía en magnitud (M.R.U.)

Si tomamos dos posiciones cualesquiera durante una caída (no vertical) podemos observar que la velocidad resultante en ambos casos presenta distinta magnitud y dirección. Deja caer el capuchón de tu birome o una goma y pégale horizontalmente para ver que la trayectoria no es recta, siempre describirá la misma trayectoria curva, desacelerando cuando sube y acelerando al bajar.

Este tipo de tiro, llamado tiro oblicuo, es mucho más complicado que los movimientos que vimos anteriormente, pero puede ser descompuesto en un movimiento vertical (acelerado o desacelerado) y un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (M.R.U.), lo que puede facilitarnos su estudio.

Velocidad Tangencial:

En todo movimiento no rectilíneo, la v_m (velocidad media) puede interpretarse geométricamente como la medida de inclinación de la recta determinada por dos puntos cualesquiera de la trayectoria. Su valor

depende del intervalo de tiempo (t) escogido, de manera que cuanto mayor sea la inclinación menor será t. Observando la figura vemos dos intervalos de tiempo, uno menor que el otro. La velocidad media del más chico está más inclinada, su ángulo es mayor, por lo tanto su módulo también es mayor.

La velocidad aumenta su inclinación cuando t se hace cada vez más chico (tiende a cero) pero la velocidad no puede dejar de tocar la curva, entonces, cuando t sea tan pequeño como para suponer que nos encontramos en un instante la velocidad será tangente a la curva. Una recta tangente es aquella que corta en un solo punto a una curva. Esta velocidad, que no es otra que la velocidad instantánea, siempre será tangente en un punto a la trayectoria, por eso suele llamársela velocidad tangencial.

En el caso del movimiento rectilíneo, la recta tangente a una recta posee su misma dirección; por eso las velocidades son colineales (única dirección).

Vector Posición:

Cualquier objeto cuya posición pueda describirse localizando un solo punto puede denominarse partícula; no interesa su tamaño ni estructura

interna. Esta partícula puede moverse dentro de nuestro universo físico en una, dos o tres dimensiones si se desplaza sobre una recta, un plano o en el espacio. Podemos describir la posición de una partícula confinada a un plano mediante sus coordenadas cartesianas (r_x ; r_y), o mediante un vector "r" cuyo origen está en el centro de coordenadas. Pero puede descomponerse (desdoblarse) en dos componentes, cada una sobre un eje.

Llamaremos r_x a la componente sobre las abscisas y r_y a la componente sobre las ordenadas. El vector posición se relaciona con sus componentes a través de las funciones trigonométricas del ángulo.

De esa manera tenemos:

• r_x = r . cos α
• _ry  = r . sen α

Si operamos matemáticamente resolviendo estas cuentas veremos que el módulo de cada componente es igual al valor de la coordenada correspondiente al eje donde se encuentra:

Un vector puede nombrarse indicando el módulo de sus componentes señalando sobre que eje estas se hallan. Para eso se utiliza a los versores. El versor o vector unitario, es un vector cuyo módulo siempre es uno. Sobre el eje x encontramos al versor "i" y sobre el eje y hallaremos al versor "j". Podemos describir al vector posición así:

En la figura a se hallan marcadas dos posiciones (P₁ y P₂) de un objeto que cae en tiro oblicuo ademas de los vectores posición de cada punto, r

₁ y r₂, que tienen sus respectivas coordenadas cartesianas:

D

r es el desplazamiento desde P₁ hasta P₂. Hallamos su módulo simplemente restando los dos vectores:

Como ya determinamos el desplazamiento, calculemos la velocidad media:

Ecuación de la Trayectoria : La trayectoria en este movimiento depende tanto del desplazamiento vertical como del horizontal. En un momento dado podemos encontrar un punto en el cual hayamos recorrido distancia x y hayamos alcanzado cierta altura y empleando, por supuesto, el mismo intervalo de tiempo t.

Así que utilizamos la ecuación " Dx = v_x . Dt " despejamos Dt tendremos

Dt = Dx / v_x 

Si reemplazamos en la ecuación horaria:

operando matemáticamente llegamos a: 

Elementos para toma en cuenta al resolver un ejercicio:

Ya habíamos aclarado que un cuerpo arrojado en tiro oblicuo presenta una trayectoria parabólica. La parábola presenta un eje que divide a la gráfica en dos partes iguales (figura). Físicamente, esto implica que el tiempo empleado en el primer tramo (antes del eje) será igual al segundo. Además, dos posiciones distintas x₁ y x₂ pueden tener la misma altura.

Un cuerpo desplazándose en tiro oblicuo se mueve en dos dimensiones, una horizontal y otra vertical. Sobre el desplazamiento horizontal no actúa ninguna fuerza por cuanto este movimiento es uniforme.

Así que Dx = v_x . t

La cosa cambia cuando consideramos el desplazamiento vertical, aquí actúa la fuerza de gravedad produciendo aceleración (g), vector cuya dirección perpendicular al suelo siempre apunta hacia abajo. Si comparamos vemos que son colineales pero de sentidos opuestos. El destino de este cuerpo es detenerse, pero está en el aire, entonces cuando v_y sea cero, él empezará a caer.

"En la altura máxima que un cuerpo puede alcanzar, en estas condiciones, la componente vertical de la velocidad, es nula".

Ejercicios Explicados:

F Un cañón dispara una bala con una velocidad de 500 m/s con un ángulo respecto al suelo de 30º. Indica a que distancia puede hallarse el blanco si la bala impacta a una altura de 5 m.

Solución: " Un cañón dispara ... ", la velocidad de 500 m/seg. corresponde a la velocidad inicial. Como el ángulo de disparo es de 30º, suponemos (y con razón) que v_o se halla inclinada 30º. El disparo se realiza desde el suelo, por lo tanto la posición inicial en ambos desplazamientos (horizontal y vertical) será cero. La componente vertical de la velocidad tiene sentido opuesto al de la gravedad, entonces será negativa.

Datos: v_o = 500 m/s, a = 30°, Dy = 5 m, g

Incógnita: Dx = ?

En un tiro oblicuo puede hallarse al objeto ubicado a la misma altura en dos instantes diferentes, uno cuando sube otro cuando baja. Es lícito imaginar que las distancias recorridas en ambos intervalos no serán las mismas. Encontramos que a una misma altura el cuerpo se halla en dos posiciones horizontales diferentes Dx₁ cuando sube y Dx₂ cuando baja.

Nos conviene utilizar por lo tanto la ecuación de la trayectoria:

Suplantamos los datos correspondientes y despejamos Dx (distancia, o sea el alcance).

Resolvemos e igualamos a cero: - 2,7.10 ^{– 5} Dx ² + tg 30º Dx – 5 = 0

Aplicando  la ecuación cuadrática tenemos:

Þ

  Dx₁ = 8,66 m. y  Dx₂ = 21374,7 m = 21,64 Km.

F Jaimito dispara una piedra desde el nivel del piso, con su super – honda, logrando que salga despedida con una velocidad 15 m/s i + 20 m/s j, de manera que hace impacto sobre un loro malhablado posado en la rama de un árbol que está a 45 m de distancia del punto de lanzamiento a) Calcular a que altura estaba posado el loro b) Determinar el vector velocidad de la piedra en el instante de pegarle al loro, y, sobre un esquema de la trayectoria, representar los vectores velocidad y aceleración de la piedra en dicho instante.

Solución: Como la velocidad inicial está expresada vectorialmente = 15 m/s i + 20 m/s j. podemos afirmar que: v_x = 15 m/s y v_y = 20 m/s. Hay que tener en cuenta que a v_y tiene signo positivo, opuesto al de la gravedad.

a) Calculemos la altura en que se encuentra el loro. Para ello indiquemos los datos que nos da el problema: 

Datos: Dx = 45 m ; vx = 15 m/s ; v_y = 20 m/s ; g = - 10 m/s

²

En el problema Dx se relaciona con Dy , por lo tanto vamos a utilizar la ecuación de la trayectoria.

Como no tenemos al ángulo a, busquémoslo. 

b) Para poder determinar el vector velocidad de la piedra en el momento del impacto necesitamos hallar v_x y v_y en ese preciso instante.

La velocidad horizontal no cambia de valor ya que se trata de un MRU por no afectarla la gravedad, su valor seguirá siendo de 15 m/s durante todo el problema. No pasa lo mismo con la componente vertical

v_y  que está sometida a la acción de la gravedad. Así que tenemos que calcular su módulo: 

Según la piedra suba o baje tendremos un signo "+" o "-" para. Como no sabemos si la piedra está subiendo o bajando hallemos las dos posiciones horizontales (Dx) para la altura que está el loro (15 m)

Como se encontraba a los 45 m, estaba bajando,

Caída Libre y tiro vertical

Imaginemos que estamos en lo alto de un puente a 30 metros de altura viendo el agua pasar. Por simple  diversión, dejamos caer una piedra y medimos el tiempo de caída con un cronómetro. Cada vez que la soltemos cada piedra trazará un camino recto desde nuestros dedos hasta el agua. No importa cuantas veces hagamos este simple experimento, siempre caerá de la misma manera. Evidentemente la piedra en caída produce un movimiento rectilíneo.

Ahora cabe preguntarnos lo que sucede con la velocidad. Como soltamos la piedra podemos suponer sin temor a equivocarnos que su velocidad inicial es nula. Cuando la velocidad inicial es cero se dice que el cuerpo parte del reposo. Indudablemente la velocidad de la piedra no se mantiene constante, de lo contrario debería flotar cuando la soltamos. Así que queda descartado que el movimiento de caída sea uniforme (M.R.U.). La velocidad cambia, intuitivamente nos damos cuenta que acelera. Con todos estos datos podemos suponer que la caída de cualquier objeto es un movimiento rectilíneo acelerado (M.R.U.V.).

Ya no utilizaremos la denominación "x" para las distintas posiciones que tome el cuerpo a lo largo de su trayectoria, sino que al ser un movimiento vertical, utilizaremos a "y". La posición inicial (la altura desde donde soltamos la piedra) será designada y_o, ya que en el instante inicial del movimiento nuestro cronómetro debe estar en cero. de esa manera el espacio recorrido por el cuerpo al caer (los 30 metros) serán designados como Δy (Δy = 30 m.).

Aceleración de la gravedad: Es interesante destacar que cada vez que la piedra cae, tomando el tiempo con nuestro cronómetro, esta tarda 2,47 segundos en tocar la superficie del agua. Para verificar que lo observado no sea efecto del tipo de elemento que dejamos caer, tomemos un papel y hagamos con él un bollo (bien apretado) y dejémoslo caer. Asimismo su caída tardará 2,47 segundos. 

¡¿Cómo es posible?! 

Sencillamente, como ya se dijo, la trayectoria de la caída libre es recta, movimiento rectilíneo y la variación de la velocidad que sufren ambos cuerpos es la misma. Tanto la piedra como el papel, arrojados con la misma velocidad inicial y desde la misma altura, caen mediante un movimiento rectilíneo acelerado.

Hagamos los cálculos para determinar el valor de la aceleración con que caen:

Reemplacemos por el valor de cada dato: 

v_o = 0 m/seg.; Dt = 2,47 seg. y Dy = 30 m.

Ahora despejemos el valor de la aceleración.

No importa la masa del cuerpo ni la altura desde donde caiga, todo objeto dejado en caída libre experimenta la misma aceleración la que de ahora en adelante la llamaremos aceleración de la gravedad y se la designa con la letra g.

La aceleración de la gravedad, como toda aceleración, es un vector. La dirección de este vector es vertical, y el hecho de que al caer un cuerpo, este se acelere, nos indica que el sentido del vector aceleración de la gravedades hacia "abajo".

La aceleración de la gravedad es la misma para cualquier cuerpo, no importa su masa, desde una misma altura y con una misma velocidad inicial, si dejamos caer una aguja, un balde lleno de arena o un avión, los tres caerán al mismo tiempo y llegarán con la misma velocidad. Nada mejor que la propia experiencia para comprobar que la variación de la velocidad y el tiempo de caída, no dependen del peso del cuerpo sino de la aceleración de la gravedad (g). Cronometra el tiempo en que tardan en caer varios objetos (goma, lápiz, etc) y saca tus propias conclusiones ...

Tiro Vertical: Al tirar una piedra hacia arriba, tenemos dos posibilidades: que la trayectoria sea rectilínea o que no lo sea. Del segundo caso nos ocuparemos al llegar al movimiento en dos dimensiones, mientras tanto razonemos lo que ocurre al tirar "verticalmente" una piedra hacia arriba.

Primeramente analicemos si el tiro vertical es un movimiento acelerado o desacelerado.

La velocidad con que arrojamos verticalmente hacia arriba una piedra, velocidad inicial, tiene que ser distinta de cero, sino caería. El cuerpo va subiendo hasta que se detiene en una posición a la que denominaremos altura máxima (y_max). En esta posición, en la que se detuvo el objeto, la velocidad debe ser cero. Estamos frente a un movimiento desacelerado.

 Por comodidad, coloquemos sobre el sentido de la velocidad inicial el signo positivo. Dicho de manera más fácil, la velocidad inicial será siempre positiva, por ende su sentido será positivo. Todo vector que tenga su mismo sentido que la velocidad será positivo y aquel que vaya en sentido contrario será negativo.

Este movimiento es desacelerado, la velocidad y la aceleración tienen distinto sentido, sus signos son opuestos, concluimos entonces que la gravedad tiene signo negativo. 

g = - 9,8 m/seg². *

Es importante destacar que cuando la piedra llegue a su altura máxima y comience a caer, el signo de su velocidad (durante la caída) será también negativo.

Así pues, para el tiro vertical y la caída libre puede utilizarse:

 * En los problemas, para que resulte más fácil su resolución, utilizaremos como valor de la gravedad " – 10 m/seg² ".

MRUV

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Aproximándonos un poco más al movimiento en el mundo real, vemos que la velocidad no es la misma durante todo el trayecto. Si bien su módulo cambia, no varía de cualquier manera, sino que depende de una tercer variable, la aceleración.

Aceleración:

El movimiento anterior es un movimiento poco frecuente en la vida real. Cuando caminamos, corremos o saltamos la velocidad no permanece constante, sino cambia. Pero para no complicarnos demasiado, así que imaginemos que la velocidad cambia de manera uniforme, dos unidades a la vez, a medida que el cronómetro imaginario en nuestras manos va marcando el tiempo.

Nuevamente hagamos un cuadro para poner nuestros valores:

Instante (t)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Velocidad (v)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20

La relación (directamente proporcional, matemáticamente hablando) se mantiene al dividir la velocidad por el tiempo, en cada caso nos da 2.

Pero hay un problema en el primer casillero. No podemos hacer la operación ya que matemáticamente es imposible dividir entre sí a cero. 

Nos encontramos frente a un problema, este casillero nos indica que la relación que buscamos no puede estar entre la velocidad que nos marca el velocímetro del auto, por ejemplo, y el instante en que nos marca el reloj o el cronómetro. (Con que una cuenta no se pueda realizar basta para que la relación no se pueda dar).

Pero notamos que la velocidad y el tiempo están evidentemente relacionados... debemos hacerlo de otra manera. Veamos que sucede si  tomamos dos intervalos distintos y vemos la variación de cada uno de ellos ¿se mantendrá esa relación?

Tomemos el instante 2, t_i = 2, la velocidad correspondiente es 4, v = 4

Tomemos el instante 7, t = 7, la velocidad correspondiente es 14, v = 14

Calculemos la variación de Δv = 14 – 4 = 10

                                         Δt = 7 – 2 = 5

Al dividir la variación de velocidad Δv por la variación del tiempo Δt el resultado, la razón nos da 2. Ahora toma diferentes intervalos y vuelve a repetir la operación pare verificar que siempre te da dos.

Justamente la relación directamente proporcional que hay entre la variación de la velocidad y el tiempo es algo físico, y la denominamos aceleración.

Siendo la velocidad una magnitud vectorial y el tiempo una magnitud escalar, cualquier operación matemática entre ellos dará como resultado un vector, por lo tanto podemos deducir que la aceleración también es un vector

Unidades de la aceleración: Aplicando la definición de aceleración, variación de la velocidad en función del tiempo, analizaremos sus unidades.

Podemos medir a la velocidad en m/seg, así que tomaremos la unidad de tiempo en segundos para poder operar matemáticamente sin problemas.

Obtención de la función Primitiva: Para hallar las ecuaciones de movimiento (función primitiva, matemáticamente hablando) puede procederse mediante integrales u obtención del área bajo la curva. Como muchos de ustedes pueden desconocerlos mecanismos del análisis matemático, utilizaremos la segunda opción.

En el M.R.U.V. la velocidad varía pero no de cualquier manera, depende de la aceleración y esta es constante. Si miramos detenidamente la gráfica de la aceleración en función del tiempo (gráfico de la aceleración) podremos darnos cuenta que, no importa el instante elegido, "a" tendrá siempre el mismo valor.

Supongamos que la aceleración es de 2 m/s² cuando partimos de la posición 1 m. con una velocidad de 1 m/s. 

Recordemos: x_o = 1 m y v_o = 1 m/s.

Si observamos detenidamente la zona que queda determinada entre la gráfica de aceleración y el eje del tiempo, indicado por los sucesivos intervalos de tiempo desde cero (líneas punteadas), vemos tres figuras, es decir tres rectángulos.

En un rectángulo, cualquier lado puede ser base o altura. 

Para facilitar cálculos posteriores tomaremos al intervalo de tiempo (t) como altura Þ base = a ; altura = Dt 

Área _ = a. Δt

La aceleración determina como varía la velocidad y el área debajo de su gráfica indica la velocidad al final de ese intervalo de tiempo:

Área = v; de esta manera tenemos: v = a . Δt

No olvidemos que al comienzo de este movimiento la velocidad no era nula

Þ v = v_o + a. Δt (Ecuación 1)

(Esta ecuación nos permites calcular la velocidad a cada instante, o sea la velocidad instantánea.)

Completemos el siguiente cuadro en base a los datos siguiendo la ecuación 1.

a	Δt	a Δt	a Δt + vo	v
2	0	2 . 0 = 0	2. 0 + 1 = 0 + 1 = 1	1
2	1	2 . 1 = 2	2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3	3
2	2	2 . 2 = 4	2. 2 + 1 = 4 + 1 = 5	5
2	3	2 . 3 = 6	2. 3 + 1 = 6 + 1 = 7	7

Tomemos los puntos cuyas coordenadas estén determinados por (t; v_t) (columnas en color) y llevemos a cada uno a la gráfica de la velocidad. Vemos que la velocidad al variar en función del tiempo nos da una recta.

Siempre que una variable dependa de una constante dará una recta en su gráfica.

Una vez más tomemos los intervalos de tiempo [0,1]; [0,2] y [0,3]. Debajo de la recta quedan determinados tres trapecios.

Nuevamente Δt será la altura, las bases (el trapecio tiene dos) van a ser las velocidades. La v_o (velocidad inicial) será la base menor mientras que v_t (velocidad instantánea) será la base mayor.

Ya habíamos visto que la velocidad señala cuanto espacio se recorre por unidad de tiempo, por lo tanto al variar la velocidad cambia la cantidad de espacio recorrido por cada intervalo de tiempo de igual duración. así el área debajo de la gráfica de v_t indica la posición del cuerpo al final del intervalo horario. Teniendo en cuenta que partimos de la posición 1 m. (x_o = 1 m.) tenemos que:

v	vo	v + vo	(v + vo):2	Δt	[(v + vo) : 2] . Δt	[(v + vo) : 2] . Δt + xo	xt
1	1	1 + 1 = 2	2 : 2 = 1	0	1 . 0 = 0	0 + 1 =	1
3	1	1 + 3 = 4	4 : 2 = 2	1	2 . 1 = 2	2 + 1 =	3
5	1	1 + 5 = 6	6 : 2 = 3	2	3 . 2 = 6	6 + 1 =	7
7	1	1 + 7 = 8	8 : 2 = 4	3	4 . 3 = 12	12 + 1 =	13

Tomemos los puntos (Δt, x) (columnas en color). Llevándolas a la gráfica del espacio en función del tiempo vemos que se obtiene una curva, una parábola.

Siempre que una variable dependa de otra variable obtendremos una curva como gráfica.

El problema que seguramente verás es que la ecuación utilizada no es la fórmula que comúnmente se usa para hallar x_t. Ahora necesitaras concentrarte por que desarrollaremos el proceso matemático que va de  esta ecuación a la que tú conoces. 

Comencemos con la ecuación que hemos utilizado:

Ahora reemplacemos v por la ecuación 1 (la de velocidad en función de tiempo) y así  tendremos:

(operando matemáticamente tenemos que...)

Esta ecuación, llamada ecuación horaria, es la más frecuentemente utilizada para hallar x_t. De la ecuación 1 y de la ecuación 2, por operaciones matemáticas que quedan por tu cuenta, obtenemos una tercera ecuación que facilitará bastante la resolución de problemas:

2. Δx. a = v ² – v_o ² (Ecuación 3)

Utilizando las ecuaciones 1, 2 y 3 puedes resolver cualquier problema de M.R.U.V.

Caída libre y tiro vertical

MRU

Movimiento Rectilíneo Uniforme

El movimiento más sencillo es el movimiento en línea recta (lógicamente denominado rectilíneo) Como todo movimiento puede describirse por el espacio que se recorre en unidad de tiempo, supongamos que recorremos siempre la misma cantidad de espacio por cada unidad de tiempo. Imaginemos que por cada segundo recorremos dos metros. En el primer segundo recorremos dos metros, al segundo habremos hecho cuatro, al tercero seis y así sucesivamente...

Para facilitar aún más nuestro estudio imaginemos que partimos de la posición cero en el instante cero. Ubiquemos nuestra suposición en una tabla:

Instante (t)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Posición (x)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20

El espacio y el tiempo matemáticamente son directamente proporcionales, eso implica que si dividimos cada posición por el instante en que se encuentra nos dará un valor constante.

Físicamente ese valor constante, la razón entre el espacio recorrido y el tiempo trascurrido, se denomina velocidad.

 Así que la velocidad en este tipo de movimiento es constante, como se ve en el gráfico de velocidad en función del tiempo (v_(t)) donde está representada la velocidad. Si llevamos a un gráfico la posición a cada instante que está indicada en la tabla, veremos que encontramos una recta. Si observamos detenidamente el cuadro podemos darnos cuenta de que la posición a cada instante se puede calcular multiplicando ese instante (t) por la velocidad (v), de esa manera tenemos que:  x = v . Dt

No tiene por que partirse de cero, así que las distintas posiciones pueden determinarse sumando la posición de donde partimos, posición inicial (x_o), y lo que se avanza (Δt. v).

Supongamos que partimos de la posición 2, la x_o = 2 m, como la velocidad es 2m/seg. sumemos 2 m a la posición anterior:

Instante (t)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Posición (x)	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22

Es interesante destacar que obtenemos una recta cuya pendiente es la velocidad (2) y la ordenada al origen es la posición inicial (2): matemáticamente la ecuación obtenida es: x = 2Dt + 2. (utilizo las variables indicadas en el gráfico).

De esa manera la ecuación del espacio en función del tiempo que a partir de ahora la llamaremos ecuación horaria, la escribiremos: x = x_o + v . Δt

Magnitudes vectoriales y escalares: Los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. Esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. Un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ... Todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. Todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. Y las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: escalares y vectoriales.

Supongamos que estamos mirando los coches que transitan por una avenida recta, todos los autos tendrán la misma dirección (la calle) pero no tienen que ir hacia un mismo lado, pueden poseer distinto sentido. Es importante en un movimiento indicar la dirección (recta a la que pertenece) y el sentido en que se mueve. En matemática existe un elemento que indica sentido y dirección además del módulo (cantidad de velocidad) es el vector. A toda variable que puede ser representada por un vector la llamaremos "magnitud vectorial".

Lo que nos indica la lógica es utilizar el vector para indicar la velocidad de un auto. La velocidad es una magnitud vectorial y su módulo señala su parte escalar, la cantidad que representa. Se indica encerrando al vector entre dos líneas: |v|. El módulo siempre es un valor positivo.

Por supuesto que encontramos magnitudes que no pueden ser representadas por un vector, ejemplo: el tiempo. Las variables de las que sólo podemos indicar su cantidad se denominan magnitudes escalares. Para entender mejor su diferencia expliquemos un ejemplo típico:

Diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento

Estuvimos hablando de posiciones (x), espacio (Δx)

Ahora imaginemos que vamos a dar una vuelta a la manzana. Cuando caminamos la primera cuadra nuestra posición inicial es xi = 0 m y nuestra posición al final de la cuadra será x f  = 100 m. Por lo que nuestro desplazamiento será el segmento que une ambas puntas, o sea 100 m.

El espacio recorrido es de 100 m y nuestro desplazamiento también. Bien, ahora caminemos otra cuadra más.

Al caminar dos cuadras sobre la misma manzana el espacio recorrido será de 200 m, ya que cada cuadra tiene 100 m, pero el desplazamiento, el segmento recto que une ambas posiciones, no tiene esa medida. Para averiguarla aplicamos Pitágoras (ver figura) y nos da una longitud de 141,42 m.

Nos encontramos que el espacio recorrido no es lo mismo que el desplazamiento que se tiene.

Recorramos una cuadra más.

Hemos recorrido 300 m pero nuestro desplazamiento es sólo 100 m.

Es más, si das la vuelta manzana, el espacio recorrido ha de ser de 400 m. pero el desplazamiento nulo porque llegamos al mismo punto desde donde partimos y la longitud de ese segmento es cero.

Vemos que espacio recorrido y desplazamiento no son lo mismo.

Así que aclaremos pues:

El desplazamiento es un vector, el espacio recorrido una magnitud escalar, sólo un número.